L'applicazione delle equazioni differenziali di primo ordine nei circuiti R/L
In analisi matematica un'equazione differenziale è un'equazione che lega una funzione (dipendente da una o più variabili) con le sue derivate.
Per esempio, le equazioni differenziali rappresentano la trattazione matematica rigorosa di una situazione in cui in ogni momento una certa quantità varia rispetto al tempo in maniera che dipende esclusivamente dal valore della quantità in quel momento .
Nel caso generale, la quantità (la funzione) può dipendere da più di una variabile, e l'equazione che lega la funzione con le sue derivate può essere di tipo generale. Siccome le situazioni sopra accennate si presentano frequentemente in moltissimi campi scientifici, le equazioni differenziali trovano applicazioni insostituibili in numerosi modelli matematici nei più disparati settori della scienza, dalla fisica all'ingegneria, dalla biologiaall'economia.
Circuito RL con forza elettromotrice costante
Consideriamo un circuito di resistenza R, induttanza L, alimentato da un generatore di forza elettromotrice costante E0, di resistenza interna trascurabile. Scriviamo la legge di Ohm generalizzata, indicando con i = i(t) l'intensità della corrente all'istante t. Si ha:
Circuito RL senza forza elettromotrice
Dopo che la corrente nel circuito ha raggiunto il valore di regime i0, supponiamo di escludere il generatore di forza elettromotrice costante E0, chiudendoil circuito direttamente su R e L. La presenza dell'induttanza L determina una forza elettromotrice autoindotta che fa circolare nel circuito una corrente, detta extracorrente di apertura, che può essere calcolata risolvendo l'equazione differenziale:
